<p>Une suite numrique est un ensemble ordonn de nombres. On note souvent \(u_0)
le terme initial, puis \(u_1),  \(u_2),  \(u_3),
 les termes suivants. La notion de suites numriques concerne souvent des phnomnes
qui sont dcrits d'tape en tape.
</p><p>
On peut aussi considrer qu'une suite est une fonction dfinie sur une partie de
l'ensemble des entiers naturels qui  chaque entier \(n) de
son ensemble dfinition associe \(u_n).</p>
<h3 class="l2w_content defn">Dfinition</h3><div class="l2w_content defn">
Si on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le mme nombre, on dit
que la suite est arithmtique, et le nombre ajout  chaque
tape est appel la raison.</div>
<h3 class="l2w_content exemple">Exemple</h3><div class="l2w_content exemple">
On considre la suite arithmtique \((u_n)) de raison 3 et de terme initial \(u_0 = 5).
On peut calculer les termes de proche en proche :
<div class="wimscenter">
\(u_0=5\underset{u_1=u_0+3}{\overset{+3}{\longrightarrow}}
 u_1 = 8 \underset{u_2=u_1+3}{\overset{+3}{\longrightarrow}}
u_2 = 11 \underset{u_3=u_2+3}{\overset{+3}{\longrightarrow}}
u_3 = 14\underset{u_4=u_3+3}{\overset{+3}{\longrightarrow}}
u_4 = 17\)
</div>
<p>La formule \(u_{n + 1} = u_n + 3) est la <strong>formule de rcurrence</strong>
de la suite \((u_n)).
</p><p>
Pour obtenir \(u_4) on aura ajout 4 fois 3  \(u_0) donc \(u_4 = u_0 + 4 \times 3 = 5 + 12 = 17)
</p><p>
Pour obtenir \(u_n) on aura ajout \(n) fois 3  \(u_0) donc \(u_n = u_0 + n \times 3) ainsi \(u_n = 5 + 3 n)
</p><p>
La formule \(u_n = 5 + 3n) est la <strong>formule explicite</strong> (ou formule gnrale) de la suite \((u_n)).
</p><p>
Pour obtenir \(u_10) on ajoutera 6 fois 3  \(u_4) et donc \(u_10 = u_4 + (10 - 4) \times 3 = 17 + 6 \times 3 = 35).
</p></div>
<h3 class="l2w_content thm">Thorme</h3><div class="l2w_content thm">
Si la suite \((u_n)) est <strong>arithmtique </strong>de raison \(r), alors
la suite \((u_n)) a pour <strong>formule de rcurrence</strong>:<br>
 \(u_{n + 1} = u_n + r)<br>
et la suite \((u_n)) a pour <strong>formule explicite</strong> :<br>
\(u_n = u_0 + r n). <br>
Si \(n) et \(p) sont deux entiers positifs,<br>
\(u_n = u_p + (n - p) r) en particulier \(u_n = u_1 + (n - 1) r).
</div>
<h3 class="l2w_content thm">Thorme</h3><div class="l2w_content thm">
Soit \((u_n)) une suite arithmtique de raison \(r).
<ul><li>Si la raison \(r\) est positive alors la suite \((u_n)) est croissante.</li>
<li>Si la raison \(r\) est ngative alors la suite \((u_n)) est dcroissante.</li></ul>
</div>
<p>On reprsente les suites par des points dans un repre cartsien.
Pour une suite arithmtique de raison \(r), les points sont sur la droite
de coefficient directeur \(r) et d'ordonne  l'origine \(u_0), d'quation \(y= r n + u_0).</p>
<h3 class="l2w_content exemple">Exemple</h3><div class="l2w_content exemple">
<ul class="inline wims_nopuce">
<li><p>
\((u_n)) est une suite arithmtique de raison 3
 et de terme initial \(u_0=5),
 \(y = 3x + 5)
</p>
\draw{400,300}{alt y = 3x + 5
xrange -0.5,5.5
yrange -1,16.5
linewidth 1
parallel 0,0,0,19,1,0,9,black
parallel 0,0,6,0,0,1,22,black
linewidth 2
arrow 0,0,5.5,0,10,black
arrow 0,0,0,16.5,10,black

text black, -0.1,-0.1,large,"0"
text black, 0.9,-0.1,large,"1"
text black, 1.9,-0.1,large,"2"
text black, 2.9,-0.1,large,"3"
text black, 3.9,-0.1,large,"4"
text black, 4.9,-0.1,large,"5"
text black, 5.9,-0.1,large,"6"

text black, -0.3,0.8,large,"0"
text black, -0.3,5.8,large,"5"
text black, -0.3,10.8,large,"10"
text black, -0.3,15.8,large,"15"

segment 0,5,5,20, lightblue
crosshairs red,0,5,1,8,2,11,3,14,4,17
}
</li><li><p>
\(v_0 = 10) et pour tout entier naturel \(n), \(v_{n + 1} = v_n - 2),
\(y = -2x + 10)
</p>
\draw{400,300}{alt y = -2x + 10
xrange -0.5,5.5
yrange -1,16.5
linewidth 1
parallel 0,0,0,19,1,0,9,black
parallel 0,0,6,0,0,1,22,black
linewidth 2
arrow 0,0,5.5,0,10,black
arrow 0,0,0,16.5,10,black

text black, -0.1,-0.1,large,"0"
text black, 0.9,-0.1,large,"1"
text black, 1.9,-0.1,large,"2"
text black, 2.9,-0.1,large,"3"
text black, 3.9,-0.1,large,"4"
text black, 4.9,-0.1,large,"5"
text black, 5.9,-0.1,large,"6"

text black, -0.3,0.8,large,"0"
text black, -0.3,5.8,large,"5"
text black, -0.3,10.8,large,"10"
text black, -0.3,15.8,large,"15"

segment 0,10,6,-2, lightblue
crosshairs red,0,10,1,8,2,6,3,4,4,2,5,0
}
  </li>
</ul>
</div>
